КОРРЕЛЯЦИЯ И ДИВЕРСИФИКАЦИЯ

До сих пор мы в основном говорили об финансовых инструментах изолированно. Однако на практике, как правило, торгуют несколькими инструментами одновременно. А значит, логичным образом возникает вопрос о выявлении взаимосвязей между различными инструментами. Здесь нам на помощь приходит корреляция. Но начнем мы не с неё, а с её «мамы» - ковариации.

Ковариацию обычно обозначают так:
К(А, В) = cov(A,B).

Ковариация доходностей 2 активов (здесь мы обозначаем их просто А и В, а не R(A) и R(B) чтобы не загромождать формулу) вычисляется так:

K(A, B) = E[{a - E(A)}*{b - E(B)}]. (1)

Т.е. нужно перемножить отклонения от средних соответствующих активов, а потом рассчитать среднее значение полученного ряда.
Пусть имеются два ряда доходностей.
Актив А: 3 4 5 7 8
mean(A) = 5.4, var(A) = 3.44

Актив В: 3 7 7 6 8
mean(B) = 6.2, var(B) = 2.96

Найдем их ковариацию K(A, B):

(3 - 5.4) = -2.4 * (3 - 6.2) = -3.2 =  7.68
(4 - 5.4) = -1.4 * (7 - 6.2) =  0.8 = -1.12
(5 - 5.4) = -0.4 * (7 - 6.2) =  0.8 = -0.32
(7 - 5.4) =  1.6 * (6 - 6.2) = -0.2 = -0.32
(8 - 5.4) =  2.6 * (8 - 6.2) =  1.8 =  4.68

И, наконец: (7.68 - 1.12 - 0.32 - 0.32 + 4.68)/5 = 10.6/5 = 2.12

Итак, K(A, B) = 2.12.

И как нам это понимать? Если вы внимательно приглядитесь к формуле (1), то поймете, как она работает. Она измеряет степень согласованности отклонений от средних.
Так, в нашем примере для первого наблюдения у актива А отрицательное отклонение от среднего, у В – тоже. Они перемножаются. В результате получаем положительное число (помним ещё со школы - «минус» на «минус» даёт «плюс»). Если бы знаки отклонений не совпадали, результат был бы отрицательным числом. Когда между отклонениями нет зависимости, получится поровну и отрицательных и положительных чисел в последней колонке. Когда потом вычисляется мат. ожидание для этого ряда перемноженных отклонений, оно оказывается нулевым или очень близким к нулю (поскольку «плюсы» и «минусы» гасят друг друга). Это означает, что зависимость между активами – нулевая, т.е. её нет. Когда между доходностями активов положительная связь, то ряд перемноженных отклонений состоит в основном из положительных чисел, соответственно и его мат. ожидание – положительно. Когда связь отрицательная, происходит всё с точностью до наоборот. Таким образом, когда между доходностями связь отсутствует, то их ковариация равна нулю, когда связь положительна – ковариация положительна, когда связь отрицательна – ковариация отрицательна.

Надо хорошо усвоить природу связи, которую измеряет ковариация. Это связь между отклонениями от средних. Когда доходности имеют положительную ковариацию, имеет место следующий факт: если доходность одного актива оказалась выше его средней доходности, то доходность второго в большинстве случаев (чем больше ковариация, тем сильнее это будет выражено) окажется также выше его средней доходности; если же доходность первого актива оказалась ниже средней, то и доходность второго тоже, скорее всего, будет ниже его средней. Т.е. мы видим, что направления движения доходностей положительно связанных активов совпадают. При отрицательной связи всё происходит наоборот (направления отклонений контрастируют). При отсутствии связи - направления меняются хаотически относительно друг друга.

Ковариация может принимать значения от –inf до +inf, т.е. она никак не ограничена. Это делает её не очень удобной для практического использования. Нам бы хотелось иметь меру зависимости, которая бы изменялась в интервале от -1 до +1. И такой мерой является коэффициент корреляции. Он вычисляется так:

С(А, B) = K(A, B)/S(A)*S(B) (2),

т.е. нужно просто ковариацию разделить на произведение стандартных отклонений.

Поскольку ковариация по абсолютной величине не может быть больше, чем S(A)*S(B), достигается гарантированная нормировка в интервал от -1 до +1.

Чтобы вы лучше поняли суть коэффициента корреляции, приведу несколько диаграмм рассеяния, которые графически фиксируют связи между доходностями по разным валютным парам (здесь рассматриваются обычные курсы по мажорам, т.е. в сокращенной записи просто выкинут USD, т.е. это не кросс-курсы, а корреляции приращений, напр., EUR/USD и USD/CHF и т.п.).