ДИСПЕРСИЯ И РИСК

Позволю, пожалуй, себе начать с терминологических моментов. В переводе с латыни дисперсия означает «рассеяние», «разброс». И такой перевод очень точно передает вероятностный смысл дисперсии как математической конструкции. В англоязычной литературе термин «дисперсия», как правило, не используется, вернее говоря, там дисперсия употребляется как общий термин для различных показателей «разброса». В смысле нашей «отечественной дисперсии» употребляется термин variance (букв. «вариация»). Мне лично больше нравится англоязычный термин, поскольку он более понятен, тем более что ещё ведь есть и ковариация (которую уж тогда было бы логичнее называть «кодисперсия»).

Ну да ладно. Перейдем уже, как говорил О. Бендер, «ближе к телу». Здесь, пожалуй, лучше начать с формулы, а потом сделать соответствующие комментарии. Итак, формула дисперсии такова:

V = E[{r - E(R)}^2]. (1)

(малая буква «r» подчеркивает, что это индивидуальное значение случайной величины – в нашем случае доходности, большая «R» - относится к общим стат. свойствам случайной величины).

Вообще дисперсию в литературе обычно обозначают так:

V(R) = D(R) = var(R).

Последнее обозначение одновременно и функция MATLAB.
Но вернемся к формуле (1). Мы видим, что для расчета дисперсии доходности (R) некоторого фин. инструмента, мы сначала должны найти её среднее значение. Далее из каждого индивидуального значения доходности (r) вычитается ожидаемая доходность (E(R)). Затем полученные разности возводятся в квадрат. А далее к полученному ряду квадратов отклонения доходностей (по определению не отрицательных) применяется оператор мат. ожидания. Дисперсия, таким образом, имеет очень простой смысл – это средний квадрат отклонения от среднего значения. Т.е. она показывает, насколько в среднем случайная величина отклоняется от её мат. ожидания (но показывает это не в обычных единицах, а в квадратных.).

Однако сама дисперсия не очень удобна для практического анализа, поскольку она имеет размерность квадрата случайной величины. Этот «недостаток» дисперсии исправляет стандартное отклонение, которое равно просто квадратному корню из дисперсии и которое мы будем обозначать так:

S(R) = std(R) = sqrt{V(R)} = V(R)^1/2.

std(R) - функция MATLAB.

(Стандартное отклонение в литературе часто обозначают греч. буквой «сигма», а дисперсию тогда записывают как sigma^2.)

Тут сам собой напрашивается вопрос: зачем рассчитывать дисперсию и стандартное отклонение по таким мудреным формулам? Не легче ли рассчитывать, напр., среднее абсолютное отклонение от мат. ожидания (которое, кстати говоря, является полным аналогом концепции среднего значения примененной к измерению отклонения от среднего), т.е.:

mad = E[abs{r - E(R)}]. (2)

mad (mean absolute deviation). И действительно такая мера вариации в статистике также используется и в некоторых случаях она может быть даже предпочтительнее стандартного отклонения (mad является аналогом S, поскольку выражается в тех же единицах, а не в квадратах как дисперсия). Однако, дисперсия (и соответственно стандартное отклонение, которое можно без проблем вычислить, зная дисперсию) обладает рядом «приятных» аналитических свойств, которыми не обладает среднее абсолютное отклонение. Перечислим основные эти свойства:

А. Мультипликативность относительно константы:

V(C*R) = C^2*V(R).
S(C*R) = C*S(R)

Если умножить случайную величину на некоторую константу C, то нам не надо пересчитывать её дисперсию заново, нужно дисперсию (предполагается, что она уже до этого известна) просто умножить на C^2, а со стандартным отклонением и того легче – просто умножить его на C. И это очень важное свойство для финансового анализа. Напр., торгуем мы 1 лотом и у нас стандартное отклонение доходности равно, скажем, 0.5%. Решили торговать 2 лотами. Какое у нас теперь будет стандартное отклонение? Да очень просто: 0.5*2=1%.

B. Аддитивность:

V(Ra + Rb) = V(Ra) + V(Rb)

Дисперсия суммы НЕЗАВИСИМЫХ случайных величин рана сумме их индивидуальных дисперсий. И опять таки это очень полезное свойство. Пускай, дисперсия доходности инструмента А равна 0.25, инструмента В - 0.16. А что будет, если мы станем торговать оба инструмента. Поступая так, мы делаем ничто иное, как суммируем две случайные величины, и если они независимы (отклонение от этого случая мы рассмотрим позднее), то их дисперсия будет просто: 0.25 + 0.16 = 0.41. А стандартное отклонение: sqrt(0.41) = 0.41^1/2 = 0.64. Мы видим, что стандартное отклонение доходности больше, чем когда мы торговали одним инструментом.

C. Инвариантность относительно добавления константы:

V(R + F) = V(R), S(R + F) = S(R).

Прибавление константы не изменяет дисперсию и стандартное отклонение.
Оно и понятно: коль скоро дисперсия – мера вариативности, то добавление константы ни как не должно влиять на дисперсию, поскольку эта константа никак не увеличивает рассеяние (дисперсия константы равна нулю).
И это тоже весьма важно. Это означает, что если мы к некоторому торгуемому инструменту добавляем «безрисковый» (fixed return) инструмент, напр., облигации или просто банковский процент, то суммарное стандартное отклонение доходности остаётся неизменным, в то время как ожидание доходности может вырасти! Забегая немного вперед, отмечу, что «приятные» аналитические свойства дисперсии (и среднего) играют ключевую роль в финансовом анализе, поскольку именно на них покоится идея эффективной диверсификации капитала – этот краеугольный камень управления риском.

В прошлой нашей «лекции» мы установили, что оператор мат. ожидания (или попросту среднее) примененный к ряду R = (Pt-1  -  Pt)/Pt фактически является доходностью финансового инструмента. Однако само по себе среднее (доходность) ещё очень мало говорит о перспективах торговли тем или иным активом. Теперь же, после прочтения всего, что я написал о стандартном отклонении, наверное, не покажется удивительным следующее утверждение: в финансовом анализе стандартное отклонение есть синоним риска, некоторая его мера.
Почему стандартное отклонение – мера риска? Что такое вообще риск? Тут, наверное, можно долго дискутировать, но, пожалуй, большинство, трейдеров согласятся, что риск связан с неопределенностью результатов торговли. Представьте, что мы имеем две торговые системы с одинаковой доходностью в 5% и со стандартными отклонениями:
- для первой 50%
- для второй 40%.

Какая из них предпочтительнее? Это, кстати, не такой уж и легкий вопрос. У первой неопределенность больше и это сулит не только бОльшие возможные убытки, но и бОльшую потенциальную прибыли, по сравнению со второй системой. Однако в финансовом анализе безоговорочно признаётся лучшей вторая система. Да и практика показывает, что, «почему-то» (на самом деле это не очень удивительно) чаще реализуются потенциальные убытки, чем потенциальная прибыль.  Так что мы из двух систем с одинаковой доходностью, будем всегда считать менее рискованной и более предпочтительной ту, у которой стандартное отклонение меньше. (Может быть несколько гиперболизированный пример: что лучше получить 100 000 USD наверняка или с вероятностью 0.5 получить 500 000, в противном случае не получить ничего, а то ещё и потерять тысяч десять? Ответ, по-моему, очевиден…)
Кроме того, более строгое математическое изучение этого вопроса также подтверждает правило выбора меньшей дисперсии. В первом приближении доходности многих активов можно считать нормально распределенными. Но тогда можно зафиксировать некоторую доходность, изменять риск (стандартное отклонение) и смотреть как будет меняться вероятность получения убытка, т.е. вероятность попадания в интервал от –inf до 0. Моделирование в MATLAB показывает такие результаты. E(R) = 5%. Посмотрим на вероятности убытка - P(L) при разных значениях стандартного отклонения:
S = 5% P(L) = 0.16
S = 10% P(L) = 0.31
S = 50% P(L) = 0.46
S = 100% P(L) = 0.48

Нетрудно заметить, что в пределе при S --> inf P(L) --> 0.5, т.е. вероятность убытка становится такой же, как и вероятность прибыли, и это в системе с положительным мат. ожиданием! Отсюда становится ясным, что при большой дисперсии получение единичных высоких доходов действительно более вероятно, чем при малой дисперсии с той же доходностью, однако вероятность систематического извлечения прибыли при этом снижается. Но мы ведь хотим систематически извлекать прибыль, поэтому нам не стоит надеяться на разовые большие «куши». Так что долой риск, долой большие S!

А как быть, если и доходности разные и риски разные? Тут может помочь одна полезная характеристика, т.н. «отношение Шарпа» (Sharp ratio). Оно вычисляется так:

ShR = E(R)/S(R). (3)

Отношение Шарпа, таким образом, показывает доходность актива на единицу риска или «премию» инвестору за риск. Рассмотрим пример. Два актива. Их доходности и риски:

E(A) = 5%, S(A) = 50%
E(B) = 3%, S(B) = 40%.

Для них отношения Шарпа:

ShR(A) = 5/50 = 0.1*100% = 10%
ShR(B) = 3/40 = 0.075*100% = 7.5%

Мы видим, что первый актив лучше «премирует» за риск. Инвестор получает 10% «премию» (ShR так же как и доходность можно умножать на 100 и получать удобную для восприятия процентную величину) за риск. Второй актив «предлагает» лишь 7.5% «премию». Мы видим, что, вообще говоря, стандартное отклонение актива B меньше, а значит и риск меньше. Но уменьшение риска актива В не компенсируется соответствующей величиной доходности, т.е. доходность актива В падает сильнее, чем риск. Или же можно сказать, что при данной доходности стандартное отклонение актива В не достаточно мало, чтобы обеспечить такую же «премию» за риск как у актива А. Чтобы обеспечить ту же "премию" нужно или чтобы S(B) = 30% при Е(В) = 3%, тогда мы имеем SR(B)= 3/30*100%=10%; или же что бы при S(B) = 40% Е(В) = 4%, тогда SR(B)= 4/40*100%=10%.
Кстати, ShR обладает следующим важным свойством: если у двух активов одинаковые ShR (при этом не важно какие у них средние и стандартные отклонения), то для них вероятности получения убытка (уже встречавшиеся нам P(L)) одинаковы!
Опять таки, забегая вперед, укажу, что взаимодействие доходности и риска (среднего и стандартного отклонения) является ключом к принятию оптимальных торговых решений, ключом к грамотному риск-менеджменту и управлению капиталом.

Надеюсь, мне удалось вас убедить, что дисперсия – это не просто некий пустой математический формализм, но чрезвычайно полезная статистическая характеристика доходности, удивительным образом схватывающая такое достаточно трудноопределимое понятие как риск (инвестиционный, финансовый риск).

В завершение следует ещё сказать несколько слов о соотношении дисперсии и стандартного отклонения, поскольку мы часто употребляли эти характеристики как синонимы.
С точки зрения практического финансового анализа первичным является стандартное отклонение. Оно здесь имеет очень простой смысл – это среднее отклонение результатов инвестирования от ожидаемой доходности инвестирования, т.е. по сути это риск инвестирования. В качестве такой же меры риска можно использовать и mad. Но оно не обладает «приятными» свойствами. На практике же разницы между S и mad нет практически никакой. S численно всегда немножко больше MAD, но это величина того же порядка (в отличие от дисперсии). (Вообще имеет место следующее приблизительное соотношение mad = 0.7979*S).
На практике мы никогда не смотрим на S изолированного фин. инструмента. Мы всегда сравниваем риски разных инструментов. И здесь имеет место следующий факт:

Если S(A) < S(B), то ВСЕГДА и mad(A) < mad(B).

Таким образом, мы видим, что разницы между стандартным отклонением и средним абсолютным отклонением в практическом финансовом анализе никакой нет. Благодаря компьютерам, вычислительные аспекты тоже неактуальны. Так что предпочтение отдаётся однозначно S. Правда, тут есть одна тонкость.
Само по себе стандартное отклонение не обладает «приятными» аналитическими свойствами (за исключением S(С*R) = С*S(R)). Но такими свойствами обладает дисперсия. Но, зная дисперсию, мы всегда можем вычислить стандартное отклонение. Поэтому обычно все математические вычисления проводятся с дисперсиями, при этом используются её свойства, о которых мы говорили. А когда конечный результат получен, переходят для удобства восприятия к стандартному отклонению (напомню, что дисперсия имеет размерность квадрата), просто извлекая корень из дисперсии.
Таким образом, в практическом финансовом анализе первичным является стандартное отклонение, а в статистическом анализе – дисперсия. В стат. анализе дисперсия первична:
1) чисто вычислительно, поскольку мы не можем сразу вычислить стандартное отклонение, - мы всегда должны сначала найти дисперсию;
2) из-за её аналитических свойств.

На этом всё. В следующий раз мы поговорим о корреляциях, регрессии и диверсификации…